Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，则$\frac{{{a_{2016}}}}{{{a_{2015}}}}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{2016}{2015}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知条件得a₁=1，a₂=2，且数列{a_n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出答案．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N^*，
∴n=1时，a₂=2，
∵a_n•a_n+1=2ⁿ，∴n≥2时，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴数列{a_n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，
则$\frac{{{a_{2016}}}}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{{a}_{2}{q}^{1007}}{{a}_{1}{q}^{1007}}=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．