题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)将函数的图象向右平移
个单位长度,再向下平移
(
)个单位长度后得到函数
的图象,且函数
的最大值为2.
(ⅰ)求函数的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数
,使得
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(Ⅰ)因为
.
所以函数的最小正周期
.
(Ⅱ)(Ⅰ)将的图象向右平移
个单位长度后得到
的图象,再向下平移
(
)个单位长度后得到
的图象.
又已知函数的最大值为
,所以
,解得
.
所以.
(Ⅱ)要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得
,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数
,使得
,即
.
由知,存在
,使得
.
由正弦函数的性质可知,当时,均有
.
因为的周期为
,
所以当(
)时,均有
.
因为对任意的整数,
,
所以对任意的正整数,都存在正整数
,使得
.
亦即存在无穷多个互不相同的正整数,使得
.
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