Question

18．已知函数f（x）=-2x²+4mx-1
（1）若m=2，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$的最大值
（2）若对于任意的x∈[-1，1]，y=f（x）的最大值为7，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若m=2，$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$=-（2sinθ+$\frac{1}{sinθ}$）+8，利用基本不等式，即可求$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$的最大值
（2）若对于任意的x∈[-1，1]，y=f（x）的最大值为7，分类讨论，建立方程，即可求m的值．

解答 解：（1）m=2，f（x）=-2x²+8x-1
∴$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$=-（2sinθ+$\frac{1}{sinθ}$）+8，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ＞0，$\frac{1}{sinθ}$＞0，
∴2sinθ+$\frac{1}{sinθ}$≥2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$≤-2$\sqrt{2}$+8，
∴$\frac{f（sinθ）}{sinθ}$的最大值为-2$\sqrt{2}$+8；
（2）函数f（x）=-2x²+4mx-1的对称轴为x=m，
m＜-1，y=f（x）的最大值为f（-1）=-2-4m-1=7，∴m=-2.5；
m＞1，y=f（x）的最大值为f（1）=-2+4m-1=7，∴m=2.5；
-1≤m≤1，y=f（x）的最大值为f（m）=2m²-1=7，∴m=±2（舍去）．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查二次函数的最大值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．