Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示，E，F分别为PB，PC中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由三视图可得PA⊥面ABCD，且ABCD 为矩形，由三角形的中位线的性质可得 EF∥BC，从而有EF∥AD，证得EF∥平面PAD．
（2）E到平面ABC的距离等于

1

2

PA，△ABC的面积等于矩形ABCD面积的一半，代入三棱锥的体积公式进行运算．

解答：解：（1）由三视图可得PA⊥面ABCD，且ABCD 为矩形，PA=

2

，AB=

2

，AD=2．
∵E，F分别为PB，PC中点，∴EF∥BC，∴EF∥AD，而 AD?平面PAD，EF不在平面PAD内，
故有 EF∥平面PAD．
（2）E到平面ABC的距离等于

1

2

PA=

2

2

，△ABC的面积为

1

2

AB•AD=

2

，
故三棱锥E-ABC的体积为

1

3

•（

1

2

AB•AD ）•

1

2

PA=

1

3

•

2

•

2

2

=

1

3

．

点评：本题考查证明线面平行的方法，三棱锥的体积公式，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键．