题目内容

一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M、G分别是AB、DF的中点.
(1)在AD上(含A、D端点)确定一点P,使得GP∥平面FMC;
(2)一只苍蝇在几何体ADF-BCE内自由飞翔,求它飞入几何体F-AMCD内的概率.
分析:(1)由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC,点P在A点处,取FC中点S,连接GS、MS、GA,根据中位线定理可知GS∥AB且GS=
1
2
AB,从而得到四边形AGSM为平行四边形,可证得结论;
(2)先根据三棱锥的体积公式求出F-AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF-BCE的体积,最后根据几何概型的概率公式解之即可.
解答:(本小题满分12分).
解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)点P在A点处.…(2分)
证明:取FC中点S,连接GS、MS、GA
∵G是DF的中点,
∴GS∥AB,且GS=
1
2
AB,
∴四边形AGSM为平行四边形
∴AG∥MS,而AG?平面FMC,MS?平面FMC
∴AG∥面FMC,
∴在AD上(含A、D端点)确定一点P即在A点处,使得GP∥平面FMC;
(2)因为VF-AMCD=
1
3
SAMCD×DF=
1
4
a3

VADF-BCE=
1
2
a3
,…(10分)
所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为
1
4
a3
1
2
a3
=
1
2
…(12分)
点评:本题主要考查了线面垂直的判定,以及几何概型的应用,同时考查了空间想象能力和计算能力,属于中档题.
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