Question

2．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知2csinA=$\sqrt{3}$a，sin（B-A）=cosC．
（1）求∠A、∠B、∠C；
（2）若△ABC的面积为3+$\sqrt{3}$，求a、c的值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和三角形的内角和定理，即可求得A，B，C；
（2）运用三角形的面积公式和已知条件，解a，c的方程即可得到．

解答 解：（1）由正弦定理可得2sinCsinA=$\sqrt{3}$sinA，
即有sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由C为锐角，则C=$\frac{π}{3}$，
则sin（B-A）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
由于A，B为锐角，则B-A=$\frac{π}{6}$，
又B+A=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
解得B=$\frac{5π}{12}$，A=$\frac{π}{4}$；
（2）△ABC的面积为3+$\sqrt{3}$，
即有S=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{5π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{8}$ac=3+$\sqrt{3}$，
即ac=4$\sqrt{6}$，
由2csinA=$\sqrt{3}$a，即2csin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{3}$a，即为$\sqrt{2}$c=$\sqrt{3}$a，
解得a=2$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查三角形的内角和定理，以及运算化简能力，属于中档题．