Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，则C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n=3ⁿ-2ⁿ．

Answer 1

分析 由a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．于是C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n=C${\;}_{n}^{1}$×2+C${\;}_{n}^{2}$×2²+…+C${\;}_{n}^{n}$2ⁿ-（C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$），再利用二项式定理即可得出．

解答 解：由a_n+1=2a_n+1，n∈N^*，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}为等比数列，首项为2，公比为2，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
∴C${\;}_{n}^{1}$a₁+C${\;}_{n}^{2}$a₂+…+C${\;}_{n}^{n}$a_n=C${\;}_{n}^{1}$×2+C${\;}_{n}^{2}$×2²+…+C${\;}_{n}^{n}$2ⁿ-（C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$）
=（1+2）ⁿ-1-2ⁿ+1
=3ⁿ-2ⁿ．
故答案为：3ⁿ-2ⁿ．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．