Question

10．设O为坐标原点，点A在椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1上，点B在椭圆$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}$=1上，若$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，则直线AB的方程为y=x或y=-x．

Answer 1

分析 A，B两点的坐标分别记为（x_A，y_A），（x_B，y_B），设直线AB的方程为y=kx，将y=kx代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，将y=kx代入$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$中，分别求出A，B的坐标，由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，求解直线AB的方程．

解答 解：A，B两点的坐标分别记为（x_A，y_A），（x_B，y_B），因为$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，所以O，A，B三点
共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y=kx，将y=kx代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，
得（1+4k²）x²=4，所以${x_A}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，
将y=kx代入$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$中，得（1+k²）x²=16，所以${x_B}^2=\frac{16}{{4+{k^2}}}$，
又由$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，得${x_B}^2=4{x_A}^2$，即$\frac{16}{{4+{k^2}}}=\frac{16}{{1+4{k^2}}}$，
解得k=±1．故直线AB的方程为y=x或y=-x．
故答案为：y=x或y=-x．

点评 本题考查直线与圆锥曲线才的综合应用，直线方程的求法，考查计算能力．