Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{4}{3}$），且b_n=a_n+$\frac{1}{3}$，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等比数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*，p≤S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$≤q，求q-p的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对a_n=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{4}{3}$）变形可知a_n+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{1}{3}$），进而可知数列{b_n}是以$\frac{4}{3}$为首项、-$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知S_n=$\frac{{3}^{n}-（-1）^{n}}{{3}^{n}}$，化简可知S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-（-1）^{n}•2•{3}^{n}}{{9}^{n}-（-1）^{n}•{3}^{n}}$且$\underset{lim}{n→∞}$（S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$）=0．分n是奇数、偶数两种情况讨论即得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵a_n=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{3}$a_n-1-$\frac{4}{9}$，
∴a_n+$\frac{1}{3}$=-$\frac{1}{3}$（a_n-1+$\frac{1}{3}$），
又∵b₁=a₁+$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{4}{3}$为首项、-$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴b_n=a_n+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$•$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$=（-1）^n-1•$\frac{4}{{3}^{n}}$，
∴数列{an}的通项公式a_n=-$\frac{1}{3}$+（-1）^n-1•$\frac{4}{{3}^{n}}$；
（Ⅱ）解：由（I）可知S_n=$\frac{\frac{4}{3}[1-（-\frac{1}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{3}）}$=1-（-1）ⁿ•$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}-（-1）^{n}}{{3}^{n}}$，
∴S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}-（-1）^{n}}{{3}^{n}}$-$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-（-1）^{n}}$
=$\frac{[{3}^{n}-（-1）^{n}]^{2}-（{3}^{n}）^{2}}{{3}^{n}[{3}^{n}-（-1）^{n}]}$
=$\frac{1-（-1）^{n}•2•{3}^{n}}{{9}^{n}-（-1）^{n}•{3}^{n}}$，
显然$\underset{lim}{n→∞}$（S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1-（-1）^{n}•2•{3}^{n}}{{9}^{n}-（-1）^{n}•{3}^{n}}$=0．
下面对n的奇偶性进行讨论：
①当n=2k（k∈N⁺）时，S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1-2•{3}^{2k}}{{9}^{2k}-{3}^{2k}}$，
记f（k）=$\frac{1-2•{3}^{2k}}{{9}^{2k}-{3}^{2k}}$，显然f（k）随着k的增大而增大，
∴f（1）≤f（k）＜0，
又∵f（1）=$\frac{1-2•{3}^{2}}{{9}^{2}-{3}^{2}}$=-$\frac{17}{72}$，
∴-$\frac{17}{72}$≤S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$＜0；
②当n=2k-1（k∈N⁺）时，S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1+2•{3}^{2k-1}}{{9}^{2k-1}+{3}^{2k-1}}$，
记f（k）=$\frac{1+2•{3}^{2k-1}}{{9}^{2k-1}+{3}^{2k-1}}$，显然f（k）随着k的增大而减小，
∴0＜f（k）≤f（1），
又∵f（1）=$\frac{1+2•3}{9+3}$=$\frac{7}{12}$，
∴0＜f（k）≤$\frac{7}{12}$；
综上所述，-$\frac{17}{72}$≤S_n-$\frac{1}{{S}_{n}}$≤$\frac{7}{12}$，
∴q-p的最小值为：$\frac{7}{12}$+$\frac{17}{72}$=$\frac{59}{72}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．