Question

【题目】已知为等比数列，其前项和为，且满足，．为等差数列，其前项和为，如图_____，的图象经过两个点．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在正整数，使得，求的最小值．从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案不唯一，详见解析．

【解析】

（Ⅰ）设数列的为公比为，由条件可得，，由此可求；

（Ⅱ）由图判断数列的单调性，以确定是否满足存在“存在，使得”，再根据等差数列的通项公式求出，再代值检验求出满足条件的．

解：（Ⅰ）设为公比为的等比数列，

由，，得，即，，

∴，，

∴；

（Ⅱ）由图①知：，，可判断，数列是递减数列；

而数列递增，由于，

∴选择①不满足“存在，使得”；

由图②知：，，可判断，数列是递增数列；

由图③知：，，可判断，数列是递增数列.

∴选择②③均可能满足“存在，使得”.

第一种情况：

如果选择条件②即，，可得：，，

当时，不成立，

当时，，，

∴使得成立的的最小值为；

第二种情况：

如果选择条件③即，，可得：，，

当时，不成立，

当时，，，

∴使得成立的的最小值为．