题目内容

【题目】对于定义在上的函数,若同时满足:①存在闭区间,使得任取,都有是常数);②对于内任意,当时总有,称为“平底型”函数.

1)判断是否为“平底型”函数?说明理由;

2)设是(1)中的“平底型”函数,若对一切恒成立,求实数的范围;

3)若是“平底型”函数,求的值.

【答案】1是“平底型”函数,不是“平底型”函数;理由见解析;(2

3.

【解析】

1)将函数分别表示为分段函数,结合题中定义对这两个函数是否为“平底型”函数进行判断;

2)由(1)知,,由题意得出,利用绝对值三角不等式求出的最小值,然后分三种情况来解不等式,即可得出的取值范围;

3)假设函数是“平底型”函数,则该函数的解析式需满足“平底型”函数的两个条件,化简函数解析式,检验“平底型”函数的两个条件同时成立的值是否存在.

1.

对于函数,当时,

时,;当时,.

所以,函数为“平底型”函数.

对于函数,当时,;当时,.

但区间不是闭区间,所以,函数不是“平底型”函数;

2)由(1)知,

由于不等式对一切恒成立,则.

由绝对值三角不等式得,则有.

①当时,由,得,解得,此时,

②当时,恒成立,此时,

③当时,由,得,解得,此时,.

综上所述,的取值范围是

3)假设函数是“平底型”函数,

则存在 使得上某个闭区间上的任意实数恒成立,

.

所以,,解得.

①当时,.

且当时,

此时,函数是“平底型”函数;

②当时,

.

不是闭区间,此时,函数不是“平底型”函数.

综上所述,当,函数是“平底型”函数.

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