题目内容

【题目】已知双曲线方程为.

1)求以定点为中点的弦所在的直线方程;

2)以定点为中点的弦存在吗?若存在,求出其所在的直线方程;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2)不存在,理由见解析

【解析】

1)设以定点为中点的弦的端点坐标为,运用中点坐标公式和直线的斜率公式,运用点差法可得所求直线的斜率,再由点斜式方程即可得到所求直线方程;

2)假设定点为中点的弦存在,设以定点为中点的弦的端点坐标为,运用中点坐标公式和直线的斜率公式,结合点差法,求得直线的斜率,由点斜式方程可得直线方程,代入双曲线的方程,检验判别式是否大于0,即可判断是否存在.

解:(1)设以定点为中点的弦的端点坐标为

可得,①

由端点在双曲线上,可得

两式相减可得

将①代入上式,

可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为

则以定点为中点的弦所在的直线方程为

即为

代入双曲线的方程可得

,可得所求直线存在,

即有所求直线的方程为

(2)假设定点为中点的弦存在,

设以定点为中点的弦的端点坐标为

可得,②

由端点在双曲线上,可得

两式相减可得

将②代入上式,

可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为

则以定点为中点的弦所在的直线方程为

即为

代入双曲线的方程可得

,可得所求直线不存在,

以定点为中点的弦不存在.

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