Question

【题目】已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1 ， y1），
B（x2 ， y2）两点，其中x1＞x2 ．
（1）若直线AB的斜率为 ，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；
（2）若 =λ ，是否存在异于点P的点Q，使得对任意λ，都有 ⊥（ ﹣λ ），若存在，求Q点坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得p=2，直线和y轴交于点（0，2），

则直线AB的方程为y﹣2= x，即x﹣2y+4=0，

由 得A，B的坐标分别为（4，4），（﹣2，1），

又由x2=4y，得到y= x2，

∴y′= x，

∴抛物线抛物线在点A处切线的斜率为2，

设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，

则 ，

解得a=﹣1，b= ，r2= ，

∴圆的方程为（x+1）2+（y﹣ ）2= ，

即为x2+y2+2x﹣13x+12=0

（2）解：依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=4y得x2﹣4kx﹣8=0，

∴x1x2=﹣8，①，

由已知 =λ 得﹣x1=λx2，

若k=0，这时λ=1，要使 ⊥（ ﹣λ ），Q点必在y轴上，

设点Q的坐标是（0，m），从而 =（0，2﹣m），

﹣λ =（x1，y1﹣m）﹣λ（x2，y2﹣m）=（x1﹣λx2，y1﹣m﹣λ（y2﹣m））

∴ （ ﹣λ ）=（2﹣m）[y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）]=0，

∴y1﹣λy2﹣m（1﹣λ）=0，

即 + ﹣m（1+ ）=0，

即 （x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，将①代入得m=﹣2，

∴存在点Q（0，﹣2）使得 ⊥（ ﹣λ ）

【解析】（1）先求出p的值，再求出直线方程，求出A，B的坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 利用待定系数法解得即可，（2）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代入抛物线方程x2=4y，根据未达定理得到x1x2=﹣8，若k=0，这时λ=1，设点Q的坐标是（0，m），利用向量的坐标运算和向量的垂直的条件得到即 （x1+x2）（x1x2﹣4m）=0，代入计算即可求出m的值．