Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．O为BD的中点、M在PD上，且BM⊥PD．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（3）求四面体O-ABM的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理，证明BA⊥平面PAD，AM⊥面PCD，利用面面垂直的判定证明平面ABM⊥平面PCD；
（2）求出△ABO的面积，即可求四面体O-ABM的体积．

解答：（1）证明：由底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，解得BP=2

5

=BD
又M在PD上，且BM⊥PD，∴M为BD中点，∴AM⊥PD；
又BA⊥PA，且BA⊥AD，PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AM，
∵CD⊥AM，PD∩CD=D，∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面PCD；
（2）解：过M做ME⊥AD于E，则ME⊥面ABO，且ME=

1

2

PA=2，

又O为BD中点，则S△ABO=

1

4

SABCD=

1

4

×2×4=2，
∴VOABM=

1

3

S△ABO×ME=

1

3

×2×2=

4

3

点评：本题考查面面垂直，考查求四面体O-ABM的体积，掌握线面垂直的判定是关键．