题目内容

【题目】已知函数f(x)=2x 的定义域为(0,1](a为实数).
(1)当a=1时,求函数yf(x)的值域;
(2)求函数yf(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x)取得最值时x的值.

【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)=2x ,任取1≥x1x2>0,
f(x1)-f(x2)=2(x1x2)- =(x1x2) .
∵1≥x1x2>0,∴x1x2>0,x1x2>0.
f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值1,所以f(x)的值域为(-∞,1].
(2)解:当a≥0时,yf(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值2-a
a<0时,f(x)=2x
≥1,即a∈(-∞,-2]时,yf(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时取得最小值2-a
<1,即a∈(-2,0)时,yf(x)在 上单调递减,在
上单调递增,无最大值,当x 时取得最小值2 .
【解析】本题主要考查求解函数的值域以及最值问题。(1)利用函数的单调性求函数的值域问题。(2)根据函数的单调性求函数在区间上的最值问题。

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