题目内容
【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PC⊥BC,点E是PC的中点,且平面PBC⊥平面ABCD.求证:
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:平面PAC⊥平面BDE.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;
【解析】
(1)设ACBD=O,连结OE,从而可得AP//OE,再利用线面平行的判定定理即可证出.
(2)利用面面垂直的性质定理可得PC平面ABCD,即证出PCBD,再由ACBD,根据线面垂直的判定定理可得BD平面PAC,最后利用面面垂直的判定定理即可证出.
证明:(1)设ACBD=O,连结OE,
因为底面ABCD是菱形,故O为BD中点,
又因为点E是PC的中点,
所以AP//OE,又因为OE平面BDE,AP平面BDE,
所以AP//平面BDE.
(2)因为平面PBC平面ABCD,PCBC,
平面PBC平面ABCD=BC,PC平面PBC,
所以PC平面ABCD
又BD平面ABCD,所以PCBD,∵ABCD是菱形,∴ACBD,
又PCBD,ACPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,
所以BD平面PAC
又BD平面BDE,所以平面PAC平面BDE.
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