题目内容
【题目】斜率为的直线
过抛物线
的焦点
,且与抛物线
交于
、
两点.
(1)设点在第一象限,过
作抛物线
的准线的垂线,
为垂足,且
,直线
与直线
关于直线
对称,求直线
的方程;
(2)过且与
垂直的直线
与圆
交于
、
两点,若
与
面积之和为
,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)设抛物线的准线与
轴的交点为
,利用抛物线的定义得出
,求出点
的坐标与直线
的斜率,即可得出直线
与直线
的斜率互为相反数,进而可求得直线
的方程;
(2)将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,利用弦长公式计算出
,求得直线
的方程,计算出圆心
到直线
的距离,进而计算出
,利用三角形的面积公式结合题中条件可求得
的值.
(1)设抛物线的准线与
轴的交点为
,根据抛物线的定义得
,则
.
,
,
,
,
,
点
的坐标为
,直线
的斜率为
.
直线
与直线
关于直线
对称,
直线
的方程为
,即
;
(2)设直线的方程为
,与
联立得
,
令,
,则
,
,
.
,
直线
的方程为
,即
,
圆心
到直线
的距离为
,
圆
的半径为
,
,
与
面积之和为
,
直线
与圆
有两个交点,
且
,
令,则
,由
,解得
或
(舍去),
,得
.
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