Question

已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex且f(0)＝1，f(1)＝0.

(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)当a＝0时，是否存在实数m使不等式2f(x)＋4xex≥mx＋1≥－x2＋4x＋1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）[0,1]（2）存在m＝4，

【解析】∵f(0)＝1，∴f(0)＝c·e0＝c＝1，

又f(1)＝(a＋b＋1)·e1＝0，∴a＋b＋1＝0，

∴b＝－1－a，∴f(x)＝[ax2－(1＋a)x＋1]·ex.

∴f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex.

(1)∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，∴对任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0，即对任意x∈[0,1]，有ax2＋(a－1)x－a≤0，令g(x)＝ax2＋(a－1)x－a.当a>0时，因为二次函数g(x)＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而g(0)＝－a<0，所以需g(1)＝a－1≤0，即0<a≤1，当a＝0时，对任意x∈[0,1]，g(x)＝－x≤0成立，符合条件，当a<0时，因为g(0)＝－a>0，不符合条件．

故a的取值范围是[0,1]．

(2)当a＝0时，f(x)＝(1－x)ex，假设存在实数m，使不等式2f(x)＋4xex≥mx＋1≥－x2＋4x＋1对任意x∈R恒成立．

由mx＋1≥－x2＋4x＋1，得x2＋(m－4)x≥0对x∈R恒成立．

∴Δ＝(m－4)2≤0，∴m＝4.

下面证明：当m＝4时，2f(x)＋4xex≥mx＋1对x∈R恒成立．

即(2x＋2)ex－4x－1≥0，对x∈R恒成立．

令g(x)＝(2x＋2)ex－4x－1，g′(x)＝(2x＋4)ex－4

∵g′(0)＝0.

当x>0时，(2x＋4)>4，ex>1，∴(2x＋4)ex>4，g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

当x<0时，(2x＋4)<4,0<ex<1，

∴(2x＋4)ex<4ex<4，g′(x)<0，

∴g(x)在(－∞，0)上单调递减．

∴g(x)min＝g(0)＝2－1＝1>0，

∴g(x)>0，即(2x＋2)ex>4x＋1对x∈R恒成立，

∴存在m＝4，使2f(x)＋4xex≥mx＋1≥－x2＋4x＋1对任意x∈R恒成立