Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知sinC=2sin（B+C）cosB．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设向量

m

=(a+c，b)，

n

=(b+a，c-a)，若

m

∥

n

，求∠A．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，利用A+B+C=π，得sinC=sin（A+B），sin（B+C）=sinA，结合题意可得A=B，从而可判断△ABC的形状；
（2）由

m

∥

n

，利用向量的坐标运算可求得cosC=-

1

2

，从而可求得∠A．

解答：解：（1）在△ABC中，∵sin（A+B）=sinC，sin（B+C）=sinA，
∴sin（A+B）=2sinAcosB，sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，
∴A=B．
∴△ABC为等腰三角形．
（2）由

m

∥

n

，得（a+c）（c-a）=b（b+a）⇒a²+b²-c²-ab=0，
∴cosC=-

1

2

，
∵0＜C＜π，
∴C=

2π

3

，
又△ABC为等腰三角形．
∴∠A=

π

6

．

点评：本题考查余弦定理，考查两角和与差的正弦函数，考查向量的平行，利用共线向量的坐标运算求得cosC=-

1

2

是难点，属于中档题．