题目内容
【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:
年级名次/是否近视 | 1-50 | 951-1000 |
近视 | 41 | 32 |
不近视 | 9 | 18 |
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）分布列见解析，
．
【解析】
试题（Ⅰ）先利用
可得第一、二组的频率，由已知条件可得第三、六组的频率，进而可得视力在5.0以下的频率，再利用
可得全年级视力在5.0以下的人数；（Ⅱ）先算出
的值，再与表中的数据比较即可得在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（Ⅲ）先分析确定随机变量
的所有可能取值，再计算各个取值的概率即可得的分布列，进而利用数学期望公式即可得数学期望．
试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为
，
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
，
，
1分
所以由
得
， 2分
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， 3分
故全年级视力在5.0以下的人数约为
4分
（Ⅱ）
6分
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 7分
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， 8分
可取0,1,2,3
，
，
，
X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
X的数学期望
12分
