Question

【题目】为了美化校园，要对校园内某一区域作如下设计，如图，已知，，，在边BC上选一点P. 沿着AP和CP重新栽种花木，图中阴影部分铺上草坪. AP段栽种花木费用是每米3a元，CP段栽种花木费用是每米2a元，其中a是正常数.设.

（1）求栽种花木费用y关于θ的函数表达式；

（2）求的值，使得栽种花木费用y最小.

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时，栽种花木费用y最小.

【解析】

（1）由正弦定理可求的长度，求出的长后再根据各段每米费用可求.

（2）将（1）中的函数化简后再令，可通过导数研究何时取最小值，最后根据和的关系求出取最小值时的值.

（1）在中，由正弦定理可得，

所以，故，

故即，

其中.

（2）令，则.

又

,

，其中.

令，则，

令，则，设，

因为，故.

当，，在为减函数，

当，，在为增函数，

所以，此时，

因为，故，

所以.

故当时，栽种花木费用y最小.