题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若在
处取到极小值,求
的值及函数
的单调区间;
(2)若当时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】【试题分析】(1)令可求得
的值.利用二阶导数求得函数
点的单调区间.(2)对
求导,并对
分成
,三类讨论函数的最小值,由此求得
的取值范围.
【试题解析】
(Ⅰ)由,得
因为,所以
,所以
令,则
,
当时,
,故
在
单调递增,且
所以当,
.
即当时,
,当
时,
.
所以函数在
上递减,在
上递增.
(Ⅱ)【法一】由,得
(1)当时,
,
在
上递增
(合题意)
(2)当时,
,当
时,
①当时,因为
,所以
,
.
在
上递增,
(合题意)
②当时,存在
时,满足
在
上递减,
上递增,故
.
不满足时,
恒成立
综上所述,的取值范围是
.
【法二】由,发现
由在
恒成立,知其成立的必要条件是
而,
,即
①当时,
恒成立,此时
在
上单调递增,
(合题意).
②当时,在
时,有
,知
,
而在时,
,知
,
所以在
上单调递增,即
(合题意)
综上所述,的取值范围是
.
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【题目】在北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车给市民们提供了一种新型的出行方式.2020年,怀化也将出现共享汽车,用户每次租车时按行驶里程(1元/公里)加用车时间(0.1元/分钟)收费,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
时间(分钟) | |||||
次数 | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求
的分布列和期望;
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).