题目内容
【题目】已知函数
，其中
为自然对数的底数.
(1)若
在
处取到极小值，求
的值及函数的单调区间；
(2)若当
时， 
恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
.
【解析】【试题分析】（1）令
可求得
的值.利用二阶导数求得函数
点的单调区间.（2）对求导，并对分成
，三类讨论函数的最小值，由此求得的取值范围.
【试题解析】
（Ⅰ）由
，得
因为
，所以
，所以
令
，则
，
当
时，
，故
在
单调递增，且
所以当
，
.
即当
时，
，当
时，
.
所以函数
在
上递减，在
上递增.
（Ⅱ）【法一】由
，得
（1）当
时，
，
在
上递增
（合题意）
（2）当
时，
，当时，
①当
时，因为，所以
，
.
在上递增，（合题意）
②当
时，存在
时，满足
在
上递减，
上递增，故
.
不满足时，
恒成立
综上所述，的取值范围是
.
【法二】由，发现
由
在
恒成立，知其成立的必要条件是
而， 
，即
①当时，恒成立，此时在上单调递增，
（合题意）.
②当
时，在
时，有
，知
，
而在
时，
，知，
所以在
上单调递增，即（合题意）
综上所述，的取值范围是.
【题目】在北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车给市民们提供了一种新型的出行方式.2020年，怀化也将出现共享汽车，用户每次租车时按行驶里程（1元/公里）加用车时间（0.1元/分钟）收费，李先生家离上班地点10公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：
时间（分钟） |
|
|
|
|
|
次数 | 8 | 14 | 8 | 8 | 2 |
以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为
分钟.
（Ⅰ）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设
是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望；
（Ⅱ）若李先生每天上下班使用共享汽车2次，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.
