题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数)
(1)若曲线在点
处的切线平行于
轴,求
的值;
(2)求函数的极值;
(3)当时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
【答案】(1)(2)当
时,函数
无极小值;当
,
在
处取得极小值
,无极大值(3)
的最大值为
【解析】
(1)求出,由导数的几何意义,解方程
即可;(2)解方程
,注意分类讨论,以确定
的符号,从而确定
的单调性,得极大值或极小值(极值点多时,最好列表表示);(3)题意就是方程
无实数解,即关于
的方程
在
上没有实数解.一般是分类讨论,
时,无实数解,
时,方程变为
,因此可通过求函数
的值域来求得
的范围.
(1)由,得
.
又曲线在点
处的切线平行于
轴,
得,即
,解得
.
(2),
①当时,
,
为
上的增函数,
所以函数无极值.
②当时,令
,得
,
.
,
;
,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
故在
处取得极小值,且极小值为
,无极大值.
综上,当时,函数
无极小值
当,
在
处取得极小值
,无极大值.
(3)当时,
令,
则直线:
与曲线
没有公共点,
等价于方程在
上没有实数解.
假设,此时
,
,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知
在
上至少有一解,与“方程
在
上没有实数解”矛盾,故
.
又时,
,知方程
在
上没有实数解.
所以的最大值为
.
解法二:
(1)(2)同解法一.
(3)当时,
.
直线:
与曲线
没有公共点,
等价于关于的方程
在
上没有实数解,即关于
的方程:
(*)
在上没有实数解.
①当时,方程(*)可化为
,在
上没有实数解.
②当时,方程(*)化为
.
令,则有
.
令,得
,
当变化时,
的变化情况如下表:
减 | 增 |
当时,
,同时当
趋于
时,
趋于
,
从而的取值范围为
.
所以当时,方程(*)无实数解, 解得
的取值范围是
.
综上,得的最大值为
.
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