Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的函数．
（1）若函数y=f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，
①求f（1），f(

1

9

)的值，
②若函数y=f（x）是定义域为R⁺的减函数，且f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．
（2）若函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），求证：f（x）是周期函数；
（3）若函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数．

Answer 1

分析：（1）①令x=y=1，可求得f（1），又f（

1

3

）=1，从而可求f（

1

9

）；
②依题意，f[x（2-x）]＜f（

1

9

），利用y=f（x）是定义域为R⁺的减函数，即可求得x的取值范围；
（2）f（x+2）=-f（x）⇒f（x+4）=f（x），从而可证f（x）是周期函数；
（3）分别令x=y=0与y=-x，即可求得f（-x）=-f（x），从而可证f（x）是奇函数．

解答：解：（1）①令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
∵f（

1

3

）=1，
∴f（

1

9

）=f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2；
②由①知f（

1

9

）=2，
∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜f（

1

9

），
又函数y=f（x）是定义域为R⁺的减函数，
得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

，解之得：x∈（1-

2 2

3

，1+

2 2

3

）．
（2）因函数y=f（x）对一切x∈R满足f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴y=f（x）是以T=4为周期的周期函数．
（3）因函数y=f（x）对一切x、y∈R满足f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0，
∴令y=-x，得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法，考查函数的周期性．奇偶性的判断与证明，属于中档题．