Question

（本小题满分14分）

已知如图5，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2, ,.

(1)求证：平面平面；

(2)求三棱锥D－PAC的体积；

(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．                                     图5

Answer 1

(1)证明：∵ABCD为矩形

∴且--------------------------------------1分

∵   ∴且 --------------------2分

∴平面,又∵平面PAD

∴平面平面-----------------------------------------5分

(2) ∵----------------------------------7分

由（1）知平面，且  ∴平面-------------8分

∴----10分

（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如

右图示，则依题意可得,,

可得, ----------------------------12分

平面ABCD的单位法向量为，设直线PC与平面ABCD所成角为，

则

∴，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.---------------------14分

解法2：由（1）知平面，∵面

∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，

则PE⊥平面ABCD，连结EC，则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角-------------12分

在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,又

∴

在Rt△PEC中.即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.--------14分