题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求
在点
处的切线方程；
（2）若不等式
恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：当
时，不等式
成立.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；
（2）由
，即
，构造函数
，求导函数研究单调性，进而得
的最大值，即得
的取值范围；
（3）由（2）可知：当
时，
恒成立，令
，整理得：
，将两边不等式全相加即可得到结论.
（1）函数
的定义域为
，
，
，
∵
，∴函数在点
处的切线方程为
，
即.
（2）由
，
，则，即，
设
，
，
，
，
单调递增，
，
，单调递减，
∵不等式恒成立，且
，
∴
，∴
即可，故.
（3）由（2）可知：当时，恒成立，
令，由于
，
.
故，
，整理得：
，
变形得：
，即：
时，
，
……，
两边同时相加得：
，
所以不等式在
上恒成立.
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【题目】某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：
，
，
，…，
（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有
的把握认为“健身达人”与性别有关？
健身达人 | 非健身达人 | 总计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
总计 |
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为
，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
