题目内容
14.已知函数f(x)=(2$\sqrt{3}$cosωx+sinωx)sinωx-sin2($\frac{π}{2}$+ωx)(ω>0),且函数y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$.(Ⅰ)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ) 求函数f(x)在区间$[{0,\frac{π}{2}}]$上的值域.
分析 (Ⅰ)由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求ω的值和函数f(x)的单调递增区间.
(Ⅱ) 由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在区间$[{0,\frac{π}{2}}]$上的值域.
解答 解:(Ⅰ)$f(x)=2\sqrt{3}cosωxsinωx+{sin^2}ωx-{cos^2}ωx$
=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$=$2sin({2ωx-\frac{π}{6}})$.
由函数f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为$\frac{π}{4}$,知$\frac{1}{4}•\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{4}$,
即ω=1,所以$f(x)=2sin({2x-\frac{π}{6}})$.
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$,解得:kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$,
所以函数f(x)的单调递增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ,\frac{π}{3}+kπ}]$,k∈Z.
(Ⅱ)因为$0≤x≤\frac{π}{2}$,所以$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$
所以$-\frac{1}{2}≤sin({2x-\frac{π}{6}})≤1$,所以-1≤f(x)≤2,
所以函数f(x)的值域为[-1,2].
点评 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
练习册系列答案
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