Question

5．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-2^x-1
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，求出f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-2^-x-1，再由奇函数的定义，以及性质：f（0）=0，即可得到所求函数的解析式；
（2）运用指数函数的单调性，可得x∈[0，1]时，f（x）为减函数，计算即可得到最值．

解答 解（1）由题意知，当x＞0时，f（x）=-2^x-1，
∴当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-2^-x-1，
∵f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f （x）=-f （-x）=2^-x+1，
又∵f（x）为定义在R上的函数，
∴f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{-x}+1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）当x∈[0，1]时，解析式f（x）=-2^x-1，
f（x）=-2^x-1在x∈[0，1]单调递减．
当x=0时，y有最大值-2，
当x=1时，y有最小值-3．

点评 本题考查函数的奇偶性的运用：求函数的解析式，考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，属于中档题．