Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{b+cx}$（a，b，c为常数），a，b分别是双曲线x²-$\frac{y^2}{3}$=1的实半轴长、半焦距，且直线x-cy=2和直线y=x-3垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式f（x）＜$\frac{{（{k+1}）x-k}}{2-x}$．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的性质求出a，b，利用直线x-cy=2和直线y=x-3垂直，求出c，即可求函数f（x）的解析式；
（2）分类讨论，解不等式即可．

解答 解：（1）由题意，a=1，b=2，c=-1，
∴f（x）=$\frac{{a{x^2}}}{b+cx}$=$\frac{{x}^{2}}{2-x}$；
（2）不等式f（x）＜$\frac{{（{k+1}）x-k}}{2-x}$可化为不等式$\frac{{x}^{2}}{2-x}$＜$\frac{{（{k+1}）x-k}}{2-x}$
∴$\frac{（x-1）（x-k）}{2-x}$＜0，
∴1＜k＜2时，解集为{x|x＜1或k＜x＜2}；
k=2时，解集为{x|x＞1且x≠2}；
k＞2时，解集为{x|x＜1或2＜x＜k}．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生解不等式的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．