题目内容
(08年安徽信息交流)在周长为6的△ABC中,∠A、∠B 、∠C所对的边分别为,若
成等比数列;
(1)求B的取值范围;
(2)求△ABC的面积S的最大值;
(3) 当△ABC的面积S最大时,过△ABC的重心G作直线交边AB于M,交边AC与N,设∠AGM=,
试证:
。
解析:(1)由题设知:
再由余弦定理得:
当且仅当时取等号,故所求B的取值范围是
(2)∵,∴
,
∴0<b,当且仅当
时,
∴
∴
(3)由(1)(2)易知,当△ABC的面积S最大时,△ABC是边长为2的正△,此时易知∠
∠
在△AGM中,由正弦定理得:
则
在△AGN中,同理可得:
∴(或用降次公式化简)


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