Question

（08年安徽信息交流）在周长为6的△ABC中，∠A、∠B   、∠C所对的边分别为，若成等比数列；

（1）求B的取值范围；

（2）求△ABC的面积S的最大值；

（3） 当△ABC的面积S最大时，过△ABC的重心G作直线交边AB于M，交边AC与N，设∠AGM=，试证：。

Answer 1

解析:（1）由题设知：

再由余弦定理得：

当且仅当时取等号，故所求B的取值范围是               

（2）∵，∴，

∴0＜b，当且仅当时，

∴

∴                                                 

（3）由（1）（2）易知，当△ABC的面积S最大时，△ABC是边长为2的正△，此时易知∠∠

在△AGM中，由正弦定理得：

则

在△AGN中，同理可得：

           

∴（或用降次公式化简）