Question

【题目】已知函数 ， 的图象在点 处的切线为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ，切线的斜率 ，∴ .

∴切线方程为 ，切点坐标为 .

∴ ，∴ ，∴ .

（2）解：由（1）知 （ ）恒成立，

∴ （ ）恒成立.令 （ ），∴ 即可

∵ ，设 ，则 ∴ 在 单调递增， ∴ .

∴ 在 上递减，在 上递增，

∴当 时， 取最小值 ，∴ .

【解析】（1）利用导函数的性质可求出切线的斜率，再根据点斜式求出直线的方程。（2）整理已知函数式构造函数 g ( x )，根据不等式的性质 可得 k < g ( x ) min，再利用导函数g′(x）的性质得出g ( x )的单调性进而得到 g ( x ) 的最小值从而得出k的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．