题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若为
的极值点,求
的值;
(Ⅱ)若在
单调递增,求
的取值范围.
(Ⅲ)当时,方程
有实数根,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)0;(Ⅱ) ;(Ⅲ)0.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求导可得,结合题意可知
,据此可得
,经验证
满足题意,即
的值为0;
(Ⅱ) 在
单调递增,则
在区间
上恒成立,分类讨论:①当
时,符合题意;②当
时,由
的定义域可知:
,若
,不满足条件,则
,讨论可得
,综上所述,
的取值范围为
;
(Ⅲ)当时,方程转化成
,
令,构造函数
,
,
在
上单调递增;在
上单调递减;结合题意计算可得
的最大值为0.
试题解析:
(Ⅰ),求导,
,
由为
的极值点,则
,即
,解得:
,
当时,
,
从而为函数的极值点,成立,
∴的值为0;
(Ⅱ)在
单调递增,则
,
则在区间
上恒成立,
①当时,
在区间
上恒成立,
∴在区间
上单调递增,故
符合题意;
②当时,由
的定义域可知:
,
若,则不满足条件
在区间
上恒成立,
则,
则,对区间
上恒成立,
令,其对称轴为
,
由,则
,
从而在区间
上恒成立,
只需要即可,
由,解得:
,
由,则
,
综上所述, 的取值范围为
;
(Ⅲ)当时,方程
,转化成
,
即
,令
,
则在
上有解,
令,
,
求导,
当时,
,故
在
上单调递增;
当时,
,故
在
上单调递减;
在
上的最大值为
,
此时,
,
当时,方程
有实数根,则
的最大值为0.
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