Question

【题目】如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.

(1)求证：MN∥平面PAB；

(2)求点M到平面PAN的距离.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）作NH∥BC交PB于点H，连接AH，得四边形AMNH为平行四边形，所以MN∥AH，所以MN∥平面PAB；（2）由等体积法得VM－PAC＝VP－AMC，即4h＝×4，所以h＝。

试题解析：

(1)在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，

在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1.

又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，

∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，

又AH平面PAB，MN平面PAB，

∴MN∥平面PAB.

(2)连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.

由题意可得CD＝2，AC＝2，

∴S△PAC＝PA·AC＝4，

∴S△AMC＝AM·CD＝，

由VM－PAC＝VP－AMC，得S△PAC·h＝S△AMC·PA，

即4h＝×4，∴h＝，

∴点M到平面PAN的距离为.