Question

已知f（x）=2x-

1

2

x²，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1），h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数h^′（x）存在零点．
（I）求实数a的值；
（II）函数y=p（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，且y=p^′（x）为函数y=p（x）的导函数，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=p（x）图象上两点，若p^′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

，判断P（x₀），，P（x₁），P（x₂）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）令h′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，分离出

1

lna

，求出二次函数（-x²+2x）_max，令

1

lna

≥( -x2+2x)max求出a的范围．
（II）通过分析法，构造函F（（x），通过导数判断出F（x）的单调性，判断出P（x₀），P（x₁），P（x₂）的大小．

解答：解：（I）f′(x)=2-x，g′(x)=

1

xlna

∵h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数
∴h′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立即

1

lna

≥-x2+2x在（0，+∞）上恒成立
即

1

lna

≥  ( -x2+2x)maxx∈（0，+∞）
令u（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1
∴

1

lna

≥1
∵h′（x）存在零点
∴x2-2x+

1

lna

=0在(0，+∞)上有根
∴△=4(1-

1

lna

)≥0
∴

1

lna

≤1
∴lna=1即a=e
（II）∵g（x）=lnx，p（x）=e^x
令F（x）=ex(x-x2)-ex+ex2(x＜x2)
F′（x）=e^x+e^xx-x₂e^x-e^x=（x-x₂）e^x＜0
∴F（x）在（-∞，x₂）上递减
∴ex1(x1-x2)＞ex1-ex2
即ex1＜

ex1-ex2

x1-x2

同理

ex1-ex2

x1-x2

＜ex2
所以有P（x₁）＜P（x₀）＜P（x₂）

点评：解决不等式恒成立，常采用的方法是分离参数，构造新函数，转化为求函数的最值．