题目内容
【题目】对任意实数
，定义函数
，已知函数
，
，记
.
（1）若对于任意实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若
，且
，求使得等式
成立的的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求
在区间
上的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）答案不唯一，具体见解析
【解析】
(1)由题意
恒成立,再利用二次函数恒成立的性质求解即可.
(2)由题
,再分
和
两种情况讨论即可.
(3) 由(2)知,
且
,再分段与分参数的取值范围情况讨论即可.
解：（1）据题意知,恒成立,
即有
对于任意的
恒成立.
∴由
得
,∴.
（2）∵
,
∴
,
又由
知,,
∴
,
∴有
时,
.
①当时,
,
∴
,
又,∴
.
②当时,
,
∴
,
∵
,∴
,
∴上式不成立.
综上①②知,使等式成立的的取值范围是.
（3）由（2）知,且
∴
∴当
时,
,∴
.
当
时,
,
①当
时,又,即
时,
；
②当
时,即
时,
；
∴综上知,
.
由
时,
；
由
无实数解；
由
时,
.
【题目】已知某学校的特长班有50名学生，其中有体育生20名，艺术生30名，在学校组织的一次体检中，该班所有学生进行了心率测试，心率全部介于50次/分到75次/分之间，现将数据分成五组，第一组[50,55)，第二组[55,60)，…，第五组[70,75]，按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．因为学习专业的原因，体育生常年进行系统的身体锻炼，艺术生则很少进行系统的身体锻炼，若前两组的学生中体育生有8名．
(1)根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计50 |
(2)根据(1)中表格数据计算可知，________(填“有”或“没有”)99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”．
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
