题目内容

10．某学校组织高一高二两个年级的50名学生干部利用假期参加社会实践活动，活动内容是：①到社会福利院慰问孤寡老人；②到车站做义工，帮助需要帮助的旅客．各位同学根据各自的实际情况，选择了不同的活动项目，相关的数据如下表所示：
到社会福利院慰问老人到车站做义工总计
高一111627
高二15823
总计262450
（1）用分层抽样的方法在到车站做义工的同学中随机抽取6名，求在高二年级的学生中应抽取几名？
（2）在（1）中抽取的6名同学中任取2名，求选到的同学为高二年级学生人数的数学期望；
（3）如果“到社会福利院慰问老人”与“到车站做义工”是两个分类变量，并且计算出随机变量K2=2.981，那么，你有多大把握认为选择到社会福利院慰问老人与到车站做义工是与年级有关系的？
参考数据P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.005
k2.0722.7063.8415.0246.6357.879

分析 （1）高一有16名学生到车站做义工，高二有8名学生到车站做义工，由此利用用分层抽样的方法能求出在高二年级的学生中应抽取几名学生．
（2）在（1）中抽取的6名同学中有高一学生4名，高二学生2名，从中任取2名，取到高二年级的学生人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出选到的同学为高二年级学生人数的数学期望．
（3）由K2=2.981＞2.706，且P（K2≥2.706）=0.1=10%，得到有90%把握认为选择到社会福利院慰问老人与到车站做义工是与年级有关系的．

解答 解：（1）∵50名学生中有24名学生到车站做义工，
其中高一有16名学生到车站做义工，高二有8名学生到车站做义工，
∴用分层抽样的方法在到车站做义工的同学中随机抽取6名，
在高二年级的学生中应抽取：$\frac{6}{24}×8$=2名．
（2）在（1）中抽取的6名同学中有高一学生4名，高二学生2名，
从中任取2名，取到高二年级的学生人数X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}=\frac{2}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为：

 X 0 1 2
 P $\frac{2}{5}$ $\frac{8}{15}$ $\frac{1}{15}$
EX=$0×\frac{2}{5}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．
（3）∵K2=2.981＞2.706，且P（K2≥2.706）=0.1=10%，
∴认为“选择到社会福利院慰问老人与到车站做义工是与年级没有关系”的概率为10%，
∴有90%把握认为选择到社会福利院慰问老人与到车站做义工是与年级有关系的．

点评 本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查随机变量K2的应用，解时要认真审题，是中档题．

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