题目内容

16.以下四个命题.:
①若$\underset{lim}{n→∞}$an存在,则$\underset{lim}{n→∞}$an2也存在;
②若$\underset{lim}{n→∞}$|an|存在,则$\underset{lim}{n→∞}$an也存在;
③若$\underset{lim}{n→∞}$an存在,则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$也存在.
④若$\underset{lim}{n→∞}$(an-bn),$\underset{lim}{n→∞}$(an+bn)存在,则$\underset{lim}{n→∞}$an与$\underset{lim}{n→∞}$bn都存在;
其中假命题的个数为 (  )
A.4B.3C.2D.1

分析 由数列的定义及极限的定义,举反例即可.

解答 解:①若$\underset{lim}{n→∞}$an存在,不妨设$\underset{lim}{n→∞}$an=A,则$\underset{lim}{n→∞}$an2=A2,故成立;
②不妨设an=(-1)n,故$\underset{lim}{n→∞}$|an|存在,$\underset{lim}{n→∞}$an不存在;
③若$\underset{lim}{n→∞}$an存在,不妨设$\underset{lim}{n→∞}$an=A,当A=-1时,$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$不存在.
④若$\underset{lim}{n→∞}$(an-bn)=A,$\underset{lim}{n→∞}$(an+bn)=B,则$\underset{lim}{n→∞}$an=$\frac{A+B}{2}$,$\underset{lim}{n→∞}$bn=$\frac{B-A}{2}$;
故选:C.

点评 本题考查了极限的定义及数列的定义的应用.

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