题目内容
【题目】【2018河南安阳市高三一模】如下图,在平面直角坐标系中,直线
与直线
之间的阴影部分即为
,区域
中动点
到
的距离之积为1.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)动直线穿过区域
,分别交直线
于
两点,若直线
与轨迹
有且只有一个公共点,求证:
的面积恒为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由点到直线距离公式直接把已知表示出来,并化简可得方程;
(Ⅱ)直线与轨迹
有且只有一个公共点,即直线
与轨迹
相切,因此可求出当
与
垂直(即斜率不存在)时,
面积,当
斜率存在时,可设其方程为
,与双曲线方程联立方程组,由
可得
,再设出
,由直线相交可求得
(用
表示),计算
面积可得结论.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得,
.
因为点在区域
内,所以
与
同号,得
,
即点的轨迹
的方程为
.
(Ⅱ)设直线与
轴相交于点
,当直线
的斜率不存在时,
,
,得
.
当直线的斜率存在时,设其方程为
,显然
,则
,
把直线的方程与
联立得
,
由直线与轨迹
有且只有一个公共点,知
,
得,得
或
.
设,
,由
得
,同理,得
.
所以
.
综上, 的面积恒为定值2.
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