题目内容
【题目】设,动圆C经过点
,且被y轴截得的弦长为2p,记动圆圆心C的轨迹为E.
Ⅰ
求轨迹E的方程;
Ⅱ
求证:在轨迹E上存在点A,B,使得
为坐标原点
是以A为直角顶点的等腰直角三角形.
【答案】Ⅰ
,
.
Ⅱ
详见解析。
【解析】
(I)通过被轴截得弦长和经过点
,构造出圆心
满足的方程,整理可得轨迹方程;(II)通过假设
点坐标以及
,可求得直线
的方程,将
方程与轨迹
联立,可表示出
点坐标;从而可表示出
,再通过构造出函数
,通过零点存在定理说明
存在零点,从而得到
存在,从而证得结论。
(I)设动圆圆心,半径为r,
圆C过点
,
,
圆C被y轴截得的弦长为2p,
,
由,得
,化简,得
,
,
轨迹E的方程为
,
.
(II)证明:设,
,则OA的斜率
,
,
的斜率
,
直线AB的方程为
,
联立直线AB与抛物线E的方程,得:
,解得
,
,
,
记,
,
,
,则
,
,
记,
,
由题意,记
,
,
,
,
根据零点存在定理,存在,使得
,从而
,
当满足
时,有
,
此时是以A为直角顶点的等腰直角三角形,
在轨迹E上存在点A,B,使得
为坐标原点
是以A为直角顶点的等腰直角三角形
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目