题目内容

【题目】,动圆C经过点,且被y轴截得的弦长为2p,记动圆圆心C的轨迹为E

求轨迹E的方程;

求证:在轨迹E上存在点AB,使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形.

【答案】 详见解析。

【解析】

I)通过被轴截得弦长和经过点,构造出圆心满足的方程,整理可得轨迹方程;(II)通过假设点坐标以及,可求得直线的方程,将方程与轨迹联立,可表示出点坐标;从而可表示出,再通过构造出函数,通过零点存在定理说明存在零点,从而得到存在,从而证得结论。

(I)设动圆圆心,半径为r

C过点

Cy轴截得的弦长为2p

,得,化简,得

轨迹E的方程为

(II)证明:设,则OA的斜率

的斜率

直线AB的方程为

联立直线AB与抛物线E的方程,得:

,解得

,则

由题意,记

根据零点存在定理,存在,使得,从而

满足时,有

此时是以A为直角顶点的等腰直角三角形,

在轨迹E上存在点AB,使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形

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