Question

若函数f（x）的定义域为R，且满足y=f（x+1）为奇函数，y=f（x-1）为偶函数，则下列说法中一定正确的有

（1）（3）

．
（1）f（x）的图象关于直线x=-1对称．
（2）f（x）的周期为4．
（3）f（2013）=0．
（4）f（x）在[-2，2]上只有一个零点．

Answer 1

分析：（1）将y=f（x-1）的图象向左平移一个单位即得y=f（x）的图象，根据y=f（x-1）为偶函数可得f（x）的对称轴；
（2）将y=f（x+1）的图象向右平移一个单位即得y=f（x）的图象关于点（1，0）对称则f（-x）=-f（x+2），根据（1）可得f（-x）=f（x-2），从而可求出函数的周期；
（3）根据函数的周期可得f（2013）=f（5），结合（1）（2）可求出f（5）=-f（1），f（1）=-f（1）即f（1）=0，从而得到结论；
（4）若当f（0）=0时，则f（2）=0，f（-2）=0故f（x）在[-2，2]上不止一个零点，从而判断（4）的真假．

解答：解：（1）∵y=f（x-1）为偶函数，即对称轴为x=0，将y=f（x-1）的图象向左平移一个单位即得y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，∴故（1）正确；
（2）y=f（x+1）为奇函数，即对称中心为（0，0），将y=f（x+1）的图象向右平移一个单位即得y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，∴f（-x）=-f（x+2）①
∵y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，∴f（-x）=f（x-2）②
由①②可得，f（x+2）=-f（x-2），将x代换为x+2，得f（x+4）=-f（x），再将x代换为x+4，得f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期为8，故（2）错误；
（3）根据函数的周期为8，∴f（2013）=f（5），∵f（x+4）=-f（x），∴f（5）=-f（1）
∵f（-x）=-f（x+2），所以f（1）=-f（1）即f（1）=0，∴f（2013）=0，故（3）正确；
（4）由（3）可知f（1）=f（-3）=f（5）=0，若当f（0）=0时，则f（2）=0，f（-2）=0故f（x）在[-2，2]上不止一个零点．故（4）不一定正确
故答案为：（1）（3）．

点评：本题主要考查了抽象函数的奇偶性、周期性以及求值，解题的关键是灵活的运用条件，同时考查了分析问题的能力和转化的能力，属于中档题．