Question

下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是

①④

．

Answer 1

分析：由偶函数的定义，可判断①的真假；由函数对称性满足的条件，及函数周期性的性质，可以判断②的真假；由减函数的定义，可判断③的真假；由周期函数的定义及性质，可以判断④的真假，进而得到答案．

解答：解：①若函数f（x）的定义域为R，
g（x）=f（x）+f（-x）
∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），
故g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数一定是偶函数，故①正确；
②∵定义域为R的奇函数f（x），对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，
则f（x）=f（x-2），它表示函数是一个周期为2的周期函数，其图象不一定是轴对称图形，
故②函数f（x）的图象关于直线x=1对称为假命题；
③若f（x）是减函数，则要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，不具有任意性，故③为假命题；
④若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，
则f （x）是以4为周期的周期函数，故④为真命题．
故答案为：①④．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，函数图象的对称性，及函数的奇偶性，是函数性质的综合应用，熟练掌握函数性质的判定法则及函数性质的定义是解答本题的关键．