题目内容
【题目】已知函数
(1)证明:函数在区间
存在唯一的极小值点
,且
;
(2)证明:函数于有且仅有两个零点.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)由导数的应用,先求函数的导函数,再研究导函数的正负号即可,
因为为增函数,因为
,
,由零点定理运算可得存在唯一的
使得
,即可得证;
(2)由特值法可得是函数
的一个零点,
再讨论当时,由指数函数的值域及三角函数的有界性可得函数
没有零点;然后讨论
时,结合(1)及零点定理可得
在区间
上有且仅有一个零点,在
无零点,综上即可得证.
证明:(1)由.
令,
当时,函数
为增函数,指数函数
也为增函数,
故当时,函数
为增函数.
又因为,可得
,
有,
,
故存在唯一的使得
.
所以当时,
,即
;
当时,
,即
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以函数在区间
存在唯一的极小值点
,且
(2)①由,可得
是函数
的一个零点;
②当时,
,
,可得
,此时函数
没有零点;
③当时,由
,
由(1)知,,可得函数
在区间
上有且仅有一个零点,在
无零点,
综上,函数有且仅有两个零点.
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