Question

【题目】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（Ⅰ）求证：四棱锥B﹣A1ACC1为阳马；并判断四面体B﹣A1CC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（只要求写出结论）．
（Ⅱ）若A1A=AB=2，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，求二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由堑堵ABC﹣A1B1C1的性质得：四边形A1ACC1是矩形， ∵A1A⊥底面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC=A，A1A，AC平面A1ACC1 ，
∴BC⊥平面A1ACC1 ，
∴四棱锥B﹣A1ACC1为阳马，
四面体B﹣A1CC1是否为鳖臑，四个面的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1 ， ∠A1C1B．
解：（Ⅱ）∵A1A=AB=2，
由（Ⅰ）知阳马B﹣A1ACC1的体积：
= = ≤ ，
当且仅当AC=BC= 时， ，
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（0， ，2），B（ ，0，0），C1（0，0，2），
∴ =（0， ，2）， =（ ，0，0）， =（0， ，0）， =（ ，0，﹣2），
设平面CA1B的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y= ，得 =（0， ，﹣1），
设平面C1A1B的法向量 =（a，b，c），
则 ，取a= ，得 =（ ，0，1），
设当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角为θ，
则cosθ= = = ，
∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值为
【解析】（Ⅰ）由堑堵ABC﹣A1B1C1的性质得：四边形A1ACC1是矩形，推导出BC⊥A1A，BC⊥AC，从而BC⊥平面A1ACC1 ， 由此能证明四棱锥B﹣A1ACC1为阳马，四面体B﹣A1CC1是否为鳖臑，四个面的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1 ， ∠A1C1B．（Ⅱ）阳马B﹣A1ACC1的体积： ≤ ，当且仅当AC=BC= 时， ，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用棱锥的结构特征和直线与平面垂直的性质，掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．