题目内容
【题目】在△ABC中,AD是角A的平分线.
(1)用正弦定理或余弦定理证明: ;
(2)已知AB=2.BC=4, ,求AD的长.
【答案】
(1)解:证明:在△ABC中,由正弦定理得: = .
在△ADC中,由正弦定理得: .
∵∠BAD=∠DAC,
∴sin∠BAD=sin∠DAC,
又∵∠BAD+∠ADC=π,
∴sin∠BAD=sin∠ADC,
∴
(2)解:在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcosB=22+42﹣2× =16.
∴AC=4.
由(1)知, = = ,
又BD+DC=BC=4,
∴BD= .
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB=22+( )2﹣2× = .
∴AD= .
【解析】(1)由已知及正弦定理得: = , ,由sin∠BAD=sin∠DAC,结合∠BAD+∠ADC=π,可得sin∠BAD=sin∠ADC,即可得证 .(2)由已知及余弦定理可求AC的值,由(1)及BD+DC=BC=4,可求BD的值,进而利用余弦定理可求AD的值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:),还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键.
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