题目内容
【题目】已知圆柱
底面半径为1，高为
，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线
如图所示．将轴截面ABCD绕着轴
逆时针旋转
后，边
与曲线
相交于点P．
(Ⅰ)求曲线
长度；
(Ⅱ)当
时，求点
到平面APB的距离；
(Ⅲ)证明：不存在
，使得二面角
的大小为
．
【答案】(Ⅰ) 
(Ⅱ) 不存在
【解析】试题分析：(Ⅰ)在侧面展开图中根据几何性质求解；(Ⅱ) 建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABP的一个法向量及向量
，利用空间向量点到直线距离公式求解；(Ⅲ)假设存在满足要求的
，在空间坐标系中求出法向量，根据空间向量夹角余弦公式，列出关于
的方程，看是否有解即可.
试题解析：(Ⅰ) 
在侧面展开图中为BD的长，其中AB = AD = π，
∴
的长为
;
(Ⅱ)当
时，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有
、
、
、
，
、
、
设平面ABP的法向量为
，则
，
取z = 2得
，所以点C1到平面PAB的距离为
；
注：本题也可以使用等积法求解．
(Ⅲ) 假设存在满足要求的
，
在（II）的坐标系中， 
，
，
设平面ABP的法向量为
，则
，
取x1 = 1得
，
又平面ABD的法向量为
，
由二面角
的大小为
，
则
．
∵
，∴
时，均有
，与上式矛盾．
所以不存在
使得二面角
的大小为
．
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