题目内容
【题目】已知f(x)=﹣ sin(2x+
)+2,求:
(1)f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)f(x)的单调递增区间;
(3)若方程f(x)﹣m+1=0在x∈[0, ]上有解,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:由于f(x)=﹣ sin(2x+
)+2,它的最小正周期为
=π,
令2x+ =kπ+
,求得x=
+
,k∈Z,故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=
+
,k∈Z
(2)解:令2kπ+ ≤2x+
≤2kπ+
,求得 kπ+
≤x≤kπ+
,可得函数f(x)的增区间为[kπ+
,kπ+
],k∈Z
(3)解:若方程f(x)﹣m+1=0在x∈[0, ]上有解,则函数f(x)的图象和直线y=m﹣1在x∈[0,
]上有交点.
∵x∈[0, ],∴2x+
∈[
,
],sin(2x+
)∈[﹣
,1],f(x)∈[2﹣
,
],
故m﹣1∈[2﹣ ,
],∴m∈[3﹣
,
]
【解析】(1)由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性,得出结论.(2)求出y=sin(2x+ )的减区间,即为f(x)的单调递增区间,再利用正弦函数的单调性得出结论.(3)由题意可得函数f(x)的图象和直线y=m﹣1在x∈[0,
]上有交点,根据正弦函数的定义域和值域求出f(x)的值域,可得m的范围.
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