Question

9．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，则满足$\frac{{a}_{n}}{n}$≤2的正整数n的集合为{1，2，3，4}．

Answer 1

分析 利用S_n=2a_n-1=2（S_n-S_n-1）-1、化简可知S_n+1=2（S_n-1+1），进而可知数列{S_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论．

解答 解：依题意，S_n=2a_n-1=2（S_n-S_n-1）-1，
∴S_n=2S_n-1+1，
∴S_n+1=2（S_n-1+1），
又∵a₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴a₁+1=1+1=2，
∴数列{S_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴S_n+1=2ⁿ，
∴a_n=（S_n+1）-（S_n-1+1）
=2ⁿ-2^n-1
=2^n-1，
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$≤2，即2^n-1≤2n，
∴n≤4，
故答案为：{1，2，3，4}．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．