Question

12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=2a|x-1|-a，若函数y=f[f（x）]恒有10个零点，则实数a的取值范围为（-1.5，-0.5）∪（0.5，1.5）．

Answer 1

分析 由已知中f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=2a|x-1|-a，可得若f（x）=0，则x=±0.5，或x=±1.5，进而对a进行分类讨论，可得答案．

解答 解：由已知可得：a≠0，
当a＞0时，f（x）的图象如下图所示：

若f（x）=0，则x=±0.5，或x=±1.5，
①当0＜a＜0.5时，f（x）=-0.5和f（x）=-1.5无解，f（x）=0.5和f（x）=1.5各有2解，此时函数y=f[f（x）]共有4个零点；
②当a=0.5时，f（x）=-1.5无解，f（x）=-0.5有两角和f（x）=1.5各有2解，f（x）=0.5有三解，此时函数y=f[f（x）]共有7个零点；
③当0.5＜a＜1.5时，f（x）=-1.5无解，f（x）=-0.5有两角和f（x）=0.5各有4解，f（x）=1.5有两解，此时函数y=f[f（x）]共有10个零点；
④当a=1.5时，f（x）=-1.5有2解，f（x）=-0.5有两角和f（x）=0.5各有4解，f（x）=1.5有三解，此时函数y=f[f（x）]共有13个零点；
⑤当a＞1.5时，f（x）=-1.5，f（x）=-0.5有两角，f（x）=0.5，f（x）=1.5各有4解，此时函数y=f[f（x）]共有16个零点；
综上：当0.5＜a＜1.5时，满足条件；
同理当-1.5＜a＜-0.5时，函数y=f[f（x）]共有10个零点，满足条件；
故实数a的取值范围为：（-1.5，-0.5）∪（0.5，1.5），
故答案为：（-1.5，-0.5）∪（0.5，1.5）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，分类讨论思想，数形结合思想，综合性强，分类复杂，属于难题．