题目内容
7.求下列函数的单调区间①y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$)
②y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$)x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$]
③y=sin(-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$)
④y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$)
分析 对于①y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$),利用正弦函数的单调性求得它的单调区间.
对于②y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$)x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],先利用正弦函数的单调性求得它的单调区间,再结合x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],进一步确定它的单调区间.
对于③y=sin(-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$)=-sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$),求得t=sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$)的增区间,即为函数y的减区间;求得t=sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$)的减区间,即为函数y的增区间,
对于④y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$),函数y的增区间即函数t=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$) 在满足t>0时的减区间;函数y的减区间即函数t=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$) 在满足t>0时的增区间,再结合正弦函数的图象得出结论.
解答 解:①对于函数y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$,故函数的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$,4kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z;
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$,故函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$,4kπ+$\frac{7π}{3}$],k∈Z.
②对于函数y=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$,故函数的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$,4kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z,
再结合x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],可得增区间为∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{3}$].
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{7π}{3}$,故函数的减区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$,4kπ+$\frac{7π}{3}$],k∈Z.
再结合x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$],可得减区间为∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$].
③对于函数y=sin(-$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$)=-sin($\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得4kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{4π}{3}$,故函数的减区间为[4kπ-$\frac{2π}{3}$,4kπ+$\frac{4π}{3}$],k∈Z;
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得4kπ+$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{10π}{3}$,故函数的增区间为[4kπ+$\frac{4π}{3}$,4kπ+$\frac{10π}{3}$],k∈Z.
④对于函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$),由题意可得,函数y的增区间即函数t=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$) 在满足t>0时的减区间,
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$<2kπ+π,k∈Z,求得4kπ+$\frac{π}{3}$≤x<4kπ+$\frac{4π}{3}$,故函数y的增区间为[4kπ+$\frac{π}{3}$,4kπ+$\frac{4π}{3}$),k∈Z.
函数y的减区间即函数t=sin($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$) 在满足t>0时的增区间,
令2kπ<$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得4kπ-$\frac{2π}{3}$<x≤4kπ+$\frac{π}{3}$,故函数y的增区间为(4kπ-$\frac{2π}{3}$.4kπ+$\frac{π}{3}$],k∈Z.
点评 本题主要考查正弦函数的单调性的应用,体现了转化的数学思想,属于中档题.
A. | (1,9] | B. | (3,9] | C. | (5,9] | D. | (7,9] |
A. | (0,5)和(0,-5) | B. | ($\sqrt{7}$,0)和(-$\sqrt{7}$,0) | C. | (0,$\sqrt{7}$) | D. | (5,0)和(-5,0) |
A. | (3,+∞) | B. | (-2,-1] | C. | (-1,3] | D. | [-1,3) |