Question

15．（x²+x+y）⁵的展开式中，x⁵y²的系数为30．

Answer 1

分析 法一：利用分部相乘原理，可以得出x⁵y²的系数；
法二：利用二项式展开式的通项公式，先确定y的次数，再确定x的次数也可．

解答 解法一：（x²+x+y）⁵可看作5个（x²+x+y）相乘，
从中选2个y，有${C}_{5}^{2}$种选法；
再从剩余的三个括号里边选出2个x²，最后一个括号选出x，有${C}_{3}^{2}$•${C}_{1}^{1}$种选法；
∴x⁵y²的系数为${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{2}$${•C}_{1}^{1}$=30；
解法二：∵（x²+x+y）⁵=[（x²+x）+y]⁵，
其展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+x）^5-r•y^r，
令r=2，得（x²+x）³的通项公式为
${C}_{3}^{m}$•（x²）^3-m•x^m=${C}_{3}^{m}$•x^6-m，
再令6-m=5，得m=1，
∴（x²+x+y）⁵的展开式中，x⁵y²的系数为
${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{1}$=30．
故答案为：30．

点评 本题考查了二项式定理的灵活应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目．